Termokings.ru

Домашний Мастер
5 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Свойства треугольника

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

  • CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
  • AD = DB
  • ∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Площадь шестиугольника

Получим формулу площади правильного шестиугольника. Для этого рассмотрим эту плоскую фигуру, которая изображена на рисунке ниже.

Видно, что многоугольник состоит из шести одинаковых сторон, которые образуют угол 120 o . Поскольку этих углов шесть, то их сумма составит 720 o .

Рисунок также показывает, что правильный шестиугольник гармонично вписывается в окружность. Если соединить центр окружности с каждой вершиной фигуры, то получим 6 одинаковых треугольников. Поскольку угловая мера всей окружности составляет 360 o , то соответствующие углы треугольника равны 60 o (360 o /6). Они обозначены на рисунке. Поскольку каждый серый отрезок делит угол шестиугольника пополам, то оставшиеся два треугольника также равны по 60 o . Это означает, что изображенные 6 треугольников являются равносторонними. Длина каждой из их сторон равна стороне шестиугольника, обозначим ее буквой a.

Из курса геометрии известно, что площадь S3 любого треугольника равна произведению его высоты h на сторону a, к которой она проведена, деленному пополам, то есть:

Длину h легко вычислить, используя понятие о тригонометрической функции. Она равна:

Тогда площадь всего треугольника равна:

Умножая эту площадь на 6, получаем формулу площади правильного шестиугольника:

Для полноты информации следует отметить, что существует формула площади правильного многоугольника с произвольным количеством сторон n. Ниже приведено соответствующее выражение:

Читать еще:  Железобетонные опоры наружного освещения (уличные)

Если подставить в это выражение значение n = 6, то мы получим формулу площади основания правильной шестиугольной призмы, которая совпадет с приведенной выше.

Заметим, что деление шестиугольника на 6 равносторонних треугольников означает, что шестиугольная призма состоит из 6 правильных треугольных призм.

Свойства правильного шестиугольника

(по порядку следования формул)

  • Радиус описанной окружности (R) правильного шестиугольника равен его стороне (t)
  • Все внутренние углы равны 120 градусам
  • Радиус вписанной окружности (r) равен корню из трех, деленному на два и умноженному на длину стороны t (радиус описанной окружности R)
  • Периметр правильного шестиугольника (P) равен шести радиусам описанной окружности (R) или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной окружности (r)
  • Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам, умноженным на квадрат радиуса описанной окружности (R) или квадрат стороны (t); либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех, умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности (t)

а) Итак, рассмотрим правильный шестиугольник H со стороной n, нарисованный на треугольной сетке. Посчитаем, сколько в нем содержится правильных шестиугольников со сторонами, параллельными сторонам H.

Ясно, что шестиугольник со стороной n всего один — он совпадает с H. Шестиугольников со стороной (n-1) уже 7 штук: у одного центр совпадает с центром H, а остальные получаются из него сдвигами к каждой из вершин H. Если продолжить уменьшать размер шестиугольника, то после аккуратного разбора случаев можно получить, что со стороной (n-2) будет 19 шестиугольников, а со стороной (n-3) — уже 37. Как возникают эти числа и что их объединяет?

Зафиксируем натуральное (k

Поскольку у каждого шестиугольника ровно одна левая нижняя вершина, то получается, что всего таких шестиугольников будет столько же, сколько узлов сетки попадает внутрь и на стороны шестиугольника со стороной (n-k).

Считать число точек внутри шестиугольника с данной стороной m можно разными способами. Мы последуем простому и изящному рассуждению, приведенному Мартином Гарднером в книге «Путешествие во времени». На рис. 3 все точки разбиты на четыре группы: те, что находятся в трех параллелограммах, плюс одна центральная точка. В одном параллелограмме (m(m-1)) точек, поэтому всего в шестиугольнике со стороной m будет (p_m=3m(m-1)+1=3m^2-3m+1) точек.

Нам, чтобы теперь решить задачу, нужно просуммировать эти выражения по всем m от 1 до n, то есть найти сумму (P=sumlimits_^n p_m). Удобнее всего это сделать, перегруппировав слагаемые так, чтобы отдельно сложить квадраты, отдельно — первые степени и отдельно — единицы:

Теперь осталось воспользоваться известными формулами для суммы чисел от 1 до n и для суммы их квадратов (см. задачу Суммы квадратов, суммы кубов. ):

После упрощения получится, что это выражение равно (n^3).

б) Надо заметить, что все точки, расположенные на периметре правильного шестиугольника со стороной m (где (minmathbb), (mle n)) определяют ровно m правильных шестиугольников (рис. 4). Верно и обратное: если на нашей сетке построен правильный шестиугольник, то его вершины обязательно будут лежать на сторонах другого шестиугольника, которые при этом параллельны сторонам H.

Читать еще:  Выдерживание бетона и уход за ним. Распалубливание конструкций

С учетом результатов пункта а) это означает, что надо найти сумму (N=sumlimits_^(p_cdot m)). Или, в полном виде:

Упрощать это выражение можно по-разному. Вот один из путей. Сначала выделим в отдельное слагаемое сумму, которую мы уже нашли в пункте а):

Сумма в первых скобках равна, как мы знаем, (n^3), и с учетом множителя n получится (n^4).

Разберемся со второй суммой. Компактно она записывается в виде (sumlimits_^ p_mcdot (m-1)). Но каждое слагаемое ( p_mcdot (m-1)=(3m^2-3m+1)(m-1)=3m^3-6m^2+4m-1) — это многочлен, а значит с этой суммой можно поступить так же, как мы делали в пункте а) — перегруппировать ее так, чтобы каждая степень складывалась отдельно:

Опять воспользуемся известными формулами для этих сумм и получим:

После упрощения останется следующее: (frac34n^4-frac12n^3-frac14n^2).

Поэтому искомое число всех правильных шестиугольников равно:

Задача

Найти объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно t .

Решение.
Так как высота цилиндра Н равна высоте призмы и равна а, достаточно найти радиус основания цилиндра, который будет равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник.

Знайти об’єм циліндра, вписаного в правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює t .

Рiшення.
Так як висота циліндра Н дорівнює висоті призми і дорівнює а, достатньо знайти радіус основи циліндра, який буде дорівнювати радіусу кола, вписаного в правильний шестикутник.

Гомологи и изомерия

Бензол образует гомологический ряд. Гомологи бензола помимо бензольного кольца включают предельные углеводородные радикалы с одинарной связью:

  • бензол – С6Н6;
  • метилбензол (толуол) – C7H8;
  • этилбензол – C8H10;
  • пропилбензол – C9H12;
  • бутилбензол (дурол) – C10H14.

Для гомологов бензола характерны два вида изомерии:

  • по строению радикала;
  • по положению заместителей в бензольном кольце.

При изменении строения углеводородного радикала метильные группы могут «сдвигаться» или присоединяться к другим атомам углерода цепочки. Чем сложнее радикал, тем больше изомеров имеет вещество. Например, пропилбензол содержит радикал, включающий три атома углерода. Он образует один изомер – изопропилбензол или кумол. Бутилбензол образует три изомера.

При изменении положения метильной группы указываются номера атомов углерода, к которым присоединился радикал. Перечисление групп идёт от младшего гомолога к старшему. Например, 1-метил-2-этилбензол, 1,2,4-триметилбензол.

Если соединение содержит две метильные группы, используют три приставки, обозначающие расположение радикалов относительно друг друга:

  • орто- (о-) – находятся у соседних атомов;
  • мета- (м-) – разделяются одним атомом углерода;
  • пара- (п-) – расположены друг напротив друга.

Например, название мета-диметилбензол указывает, что две метильные группы расположены через один атом углерода в бензольном кольце.

Рис. 3. Примеры изомеров аренов

К бензольному кольцу могут присоединяться радикалы, содержащие двойные связи. Некоторые соединения имеют совмещённые кольца. В этих случаях вещества относятся к аренам, но не являются гомологами бензола, так как не обладают аналогичными свойствами.

Читать еще:  Гайкорез гидравлический 22-36 мм, M14-M24 1.26/2 HYD GEDORE 8009530

Площадь правильного шестиугольника

Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.

В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника. Это и металлическая гайка, и ячейки пчелиных сот, и структура снежинки. Шестиугольными фигурами отлично заполняются плоскости. Так, например, при мощении тротуарной плитки мы можем наблюдать, как плитка укладывается одна возле другой, не оставляя пустых мест.

Свойства правильного шестиугольника

  • Правильный шестиугольник всегда будет иметь равные углы, каждый из которых составляет 120˚.
  • Сторона фигуры равняется радиусу описанной окружности.
  • Все стороны в правильном шестиугольнике равны.
  • Правильный шестиугольник плотно заполняет плоскость.

Как посчитать площадь правильного шестиугольника?

Площадь правильного шестиугольника можно рассчитать, разбив его на шесть треугольников, каждый из которых будет иметь равные стороны.

Для расчета площади правильного треугольника используется следующая формула:

Зная площадь одного из треугольников, можно легко рассчитать площадь шестиугольника. Формула для ее расчета проста: поскольку правильный шестиугольник — это шесть равных треугольников, следует площадь нашего треугольника умножить на 6.

Если провести от центра фигуры к любой из ее сторон перпендикуляр, получим отрезок, который называется апофема. Рассмотрим, как найти площадь шестиугольника при известной апофеме:

  1. Площадь = 1/2*периметр*апофему.
  2. Предположим, наша апофема равняется 5√3 см.

  1. Используя апофему, находим периметр: Поскольку апофема расположена перпендикулярно к стороне шестиугольника, то углы треугольника, созданного при помощи апофемы, будут равняться 30˚—60˚—90˚. Каждая сторона полученного треугольника будет соответствовать: x-x√3-2x, где короткая сторона, которая расположена напротив угла в 30˚— это x, длинная сторона, расположенная напротив угла в 60˚ — это x√3, а гипотенуза — 2x.
  2. Поскольку апофема представлена, как x√3, можно подставить ее в формулу a = x√3 и решить. Если, к примеру, апофема = 5√3, тогда подставим эту величину в формулу и получим: 5√3 см = x√3, или x = 5 см.
  3. Итак, короткая сторона треугольника равняется 5 см. поскольку эта величина является половиной длины стороны шестиугольника, умножаем 5 на 2 и получим 10 см, которая является длиной стороны.
  4. Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
  5. Подставим полученные результаты в нашу формулу:

Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах:

½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см²

Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника

Объём усечённого конуса

Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:

Объём данного тела можно вычислить по формуле:

Важно! S и S 1 это площади соответствующих основ, которые равняются ПR 2 и ПR 1 2 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector